Question

20．定义在R上的偶函数满足f（2-x）+f（x）=2，且f（x）在[0，1]上单调，函数g（x）=f（x）-1在[0，2015]上的零点个数为（　　）

• A． 2015
• B． 2016
• C． 1007
• D． 1008

Answer 1

分析 根据条件得到函数是周期为4的周期函数，同时由f（2-x）+f（x）=2得到函数关于（1，1）对称，利用函数（x）在[0，1]上单调性，判断函数f（x）=1的x的取值，利用函数g（x）=0得f（x）=1，进行求解即可．

解答 解：由g（x）=f（x）-1=0得f（x）=1，
∵偶函数满足f（2-x）+f（x）=2
∴f（x-2）+f（x）=2，则f（x）+f（x+2）=2，
则f（x-2）+f（x）=f（x）+f（x+2）=2，
即f（x-2）=f（x+2），
则f（x）=f（x+4），则函数是周期为4的周期函数．
当x=1时，f（1）+f（1）=2，即f（1）=1，
当x=0时，f（2）+f（0）=2，
当x=-1时，f（-3）+f（-1）=2，
即f（3）+f（1）=2，即f（3）=2-f（1）=2-1=1，
∵函数是偶函数，∴f（-1）=f（1）=1，
∵函数f（x）在[0，1]上单调，
∴f（x）在[0，1]上只有f（1）=1，
在[-1，0]上只有f（-1）=1，
∵f（2-x）+f（x）=2，
∴函数f（x）关于（1，1）对称，即函数在（1，3]上只有f（3）=1，
即函数f（x）在[0，2]内只有1个点使f（1）=1，
则在[0，2014]上有2014÷2=1007个x使f（x）=1，在（2014，2015]内有f（2015）=1，
即g（x）=f（x）-1在[0，2015]上的零点个数为1007+1=1008个，
故选：D

点评 本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数奇偶性和单调性的关系以及判断函数的周期性和对称性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．