Question

11．已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC-sinBsinC=$\frac{1}{2}$．
（1）求角A；
（2）若a=2$\sqrt{3}$，b+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（B+C）的值，确定出B+C的度数，即可求出A的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a与b+c的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答 解：（1）在△ABC中，∵cosBcosC-sinBsinC=$\frac{1}{2}$，
∴cos（B+C）=$\frac{1}{2}$，
又∵0＜B+C＜π，
∴B+C=$\frac{π}{3}$，
∵A+B+C=π，
∴A=$\frac{2π}{3}$；                                        
（Ⅱ）由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA，
得（2$\sqrt{3}$）²=（b+c）²-2bc-2bc•cos$\frac{2π}{3}$，
把b+c=4代入得：12=16-2bc+bc，
整理得：bc=4，
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．