Question

6．已知各项不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=$\frac{1}{2}$a_n•a_n+1（n∈N^*）
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）设数列{b_n}满足：b_n=${2}^{{a}_{n}-2{a}_{n+1}}$，且$\underset{lim}{n→∞}$（b_kb_k+1+b_k+1b_k+2+…+b_nb_n+1）=$\frac{1}{384}$，求正整数k的值；
（3）若m、k均为正整数，且m≥2，k＜m．在数列{c_k}中，c₁=1，$\frac{{c}_{k+1}}{{c}_{k}}$=$\frac{k-m}{{a}_{k+1}}$，求c₁+c₂+…+c_m．

Answer 1

分析 （1）通过S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，利用a_n+1=S_n+1-S_n整理得a_n+2-a_n=2，进而可知数列{a_n}是首项、公差均为1的等差数列；
（2）通过（1）可知b_n=$\frac{1}{{2}^{n+2}}$，进而可知b_nb_n+1=$\frac{1}{{2}^{5}}$•$\frac{1}{{4}^{n}}$，进而利用等比数列的求和公式计算、取极限即得结论；
（3）通过$\frac{{c}_{k+1}}{{c}_{k}}$=$\frac{k-m}{{a}_{k+1}}$及a_n=n分别计算出$\frac{{c}_{2}}{{c}_{1}}$、$\frac{{c}_{3}}{{c}_{2}}$、$\frac{{c}_{4}}{{c}_{3}}$、$\frac{{c}_{n}}{{c}_{n-1}}$的表达式，进而累乘化简，利用二项式定理计算即得结论．

解答 （1）证明：∵S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=$\frac{1}{2}$a_n+1a_n+2-$\frac{1}{2}$a_na_n+1，
整理得：a_n+2-a_n=2，
又∵a₁=1，a₂=$\frac{2{S}_{1}}{{a}_{1}}$=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=n，
即数列{a_n}是首项、公差均为1的等差数列；
（2）解：由（1）可知b_n=${2}^{{a}_{n}-2{a}_{n+1}}$=2^n-2（n+1）=$\frac{1}{{2}^{n+2}}$，
∴b_nb_n+1=$\frac{1}{{2}^{n+2}}$•$\frac{1}{{2}^{n+3}}$=$\frac{1}{{2}^{5}}$•$\frac{1}{{4}^{n}}$，
∴b_kb_k+1+b_k+1b_k+2+…+b_nb_n+1=$\frac{1}{{2}^{5}}$（$\frac{1}{{4}^{k}}$+$\frac{1}{{4}^{k+1}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$）
=$\frac{1}{{2}^{5}}$•$\frac{1}{{4}^{k}}$•$\frac{1-\frac{1}{{4}^{n-k+1}}}{1-\frac{1}{4}}$
=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{{2}^{3+2k}}$（1-$\frac{1}{{4}^{n+1-k}}$），
又∵$\underset{lim}{n→∞}$（b_kb_k+1+b_k+1b_k+2+…+b_nb_n+1）=$\frac{1}{384}$，即$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{{2}^{3+2k}}$=$\frac{1}{384}$，
解得：k=2；
（3）解：∵c₁=1，$\frac{{c}_{k+1}}{{c}_{k}}$=$\frac{k-m}{{a}_{k+1}}$，a_n=n，
∴$\frac{{c}_{k+1}}{{c}_{k}}$=$\frac{k-m}{k+1}$，$\frac{{c}_{k}}{{c}_{k-1}}$=（-1）•$\frac{m-（k-1）}{k}$（m＞k，m≥2），
∴c₂=$\frac{{c}_{2}}{{c}_{1}}$=（-1）$\frac{m-1}{2}$，
c₃=$\frac{{c}_{3}}{{c}_{2}}$•$\frac{{c}_{2}}{{c}_{1}}$=（-1）²$\frac{（m-2）（m-1）}{3×2}$，
c₄=$\frac{{c}_{4}}{{c}_{3}}$•$\frac{{c}_{3}}{{c}_{2}}$•$\frac{{c}_{2}}{{c}_{1}}$=（-1）³•$\frac{m（m-1）（m-2）（m-3）}{4×3×2×1}$=（-1）³•$\frac{1}{m}$•${C}_{m}^{4}$，
…
c_k=（-1）^k-1•$\frac{1}{m}$•${C}_{m}^{k}$，
显然当m=1时满足上式，即c_m=（-1）^m-1•$\frac{1}{m}$•${C}_{1}^{1}$，
∴c₁+c₂+…+c_m
=$\frac{1}{m}$[${C}_{m}^{1}$-${C}_{m}^{2}$+…+（-1）^m-1•${C}_{m}^{m}$]
=$\frac{1}{m}$[$\frac{{C}_{m}^{0}-{C}_{m}^{2}+{C}_{m}^{3}-{C}_{m}^{4}+…+（-1）^{m}{•C}_{m}^{m}-1}{-1}$]
=$\frac{1}{m}$•$\frac{（1-1）^{m}-1}{-1}$
=$\frac{1}{m}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查累乘法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．