Question

1．已知圆C：x²+y²=1，点P（x₀，y₀）在直线l：3x+2y-4=0上，若在圆C上总存在两个不同的点A、B，使$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OP}$，则x₀的取值范围是 （　　）

• A． （0，$\frac{24}{13}$）
• B． （-$\frac{24}{13}$，0）
• C． （0，$\frac{13}{24}$）
• D． （0，$\frac{13}{12}$）

Answer 1

分析 根据条件可画出图形，根据图形便可看出OP的中点在圆内，从而可得到$\frac{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}}{2}＜1$，这样联立3x₀+2y₀-4=0即可得出x₀的取值范围．

解答 解：如图，
∵$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OP}$；
∴OP与AB互相垂直平分；
∴圆心到直线AB的距离$\frac{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}}{2}＜1$；
∴${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}＜4$①；
又3x₀+2y₀-4=0；
∴${y}_{0}=2-\frac{3}{2}{x}_{0}$，带入①得：
${{x}_{0}}^{2}+（2-\frac{3}{2}{x}_{0}）^{2}＜4$；
解得$0＜{x}_{0}＜\frac{24}{13}$；
∴x₀的取值范围是$（0，\frac{24}{13}）$．
故选：A．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，圆心和弦中点的连线垂直于弦，以及两点间的距离公式，一元二次不等式的解法．