Question

11．已知$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$为互相垂直的单位向量，若向量$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|=1，则|$\overrightarrow{c}$|的取值范围是[$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$+1]．

Answer 1

分析 作出图形，由平面向量线性运算的几何意义可知C在以P为圆心，以1为半径的圆上．其中P为$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的终点．

解答 解：设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，则|OA|=|OB|=1，OA⊥OB，
∴|OP|=$\sqrt{2}$，
∵|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$|=1，即|$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{CP}$|=1，
∴C在以P为圆心，以1为半径的圆上，
∴$\sqrt{2}-1$≤|OC|≤$\sqrt{2}+1$．
故答案为：[$\sqrt{2}-1$，$\sqrt{2}+1$]．

点评 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，属于基础题．