Question

12．下列函数中在定义域内既是奇函数又是增函数的为（　　）

• A． y=2x+1
• B． y=x²
• C． y=$\frac{1}{x}$
• D． y=x|x|

Answer 1

分析 根据奇函数、偶函数的定义，奇函数图象的对称性，以及反比例函数、二次函数的单调性及分段函数单调性的判断即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．

解答 解：A．y=2x+1的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；
B．y=x²是偶函数，∴该选项错误；
C．反比例函数$y=\frac{1}{x}$在定义域内没有单调性，∴该选项错误；
D．y=x|x|的定义域为R，且（-x）|-x|=-x|x|；
∴该函数为奇函数；
$y=x|x|=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}}&{x≥0}\\{-{x}^{2}}&{x＜0}\end{array}\right.$；
∴y=x|x|在（-∞，0），[0，+∞）上单调递增，且0²=-0²；
∴该函数在定义域R内是增函数，∴该选项正确．
故选：D．

点评 考查奇函数、偶函数的定义，奇函数图象的对称性，以及反比例函数、二次函数的单调性，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，以及分段函数单调性的判断．