Question

20．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x₁，x₂∈D且x₁+x₂=2a，恒有f（x₁）+f（x₂）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心，研究并利用函数f（x）=x³-3x²-sinπx的对称中心，可得$f（\frac{1}{2013}）+f（\frac{2}{2013}）+…+f（\frac{4024}{2013}）+f（\frac{4025}{2013}）$=（　　）

• A． 4025
• B． -4025
• C． 8050
• D． -8050

Answer 1

分析 函数（x）=x³-3x²-sin（πx）图象的对称中心的坐标为（1，-2），即x₁+x₂=2时，总有f（x₁）+f（x₂）=-4，再利用倒序相加，即可得到结论．

解答 解：由题意要求$f（\frac{1}{2013}）+f（\frac{2}{2013}）+…+f（\frac{4024}{2013}）+f（\frac{4025}{2013}）$的值，
易知$\frac{1}{2013}$+$\frac{4025}{2013}$=$\frac{2}{2013}$+$\frac{4024}{2013}$=…=2，
所以函数（x）=x³-3x²-sin（πx）图象的对称中心的坐标为（1，-2），
即x₁+x₂=2时，总有f（x₁）+f（x₂）=-4
∴$f（\frac{1}{2013}）+f（\frac{2}{2013}）+…+f（\frac{4024}{2013}）+f（\frac{4025}{2013}）$=$\frac{1}{2}$（-4×4025）=8050，
故选D．

点评 本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x₁+x₂=2，是解题的关键．