Question

8．已知$f（x）=4\sqrt{3}sinxcosx-4{cos^2}x+5，x∈R$
（1）求f（x）取得最大值时x的集合
（2）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 化简三角函数，由整体法和三角函数的单调性易得f（x）单调性和最值

解答 解：（1）f（x）=4$\sqrt{3}$sinxcosx-4cos²x+5=2$\sqrt{3}$sin2x-2cos2x+3=4sin（2x-$\frac{π}{6}$）+3，
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ时，即x=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z时，f（x）取的最大值，
故f（x）取得最大值时x的集合为{x|x=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z}；
（2）由（1）知，-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
故f（x）的单调增区间为[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z．

点评 本题考查两角和与差的正弦函数二倍角公式，涉及三角函数的单调性和最值，属基础题．