Question

3．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，A=2B，则sinA=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意和正弦定理可得a=6cosB，代入余弦定理可得cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，进而可得sinB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，再由正弦定理可得sinA=$\frac{asinB}{b}$代值计算可得．

解答 解：∵△ABC中b=3，c=1，A=2B，
∴由正弦定理可得a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{3sin2B}{cosB}$=6cosB，
由余弦定理可得9=（6cosB）²+1-2×6cosB×1×cosB，
解得cos²B=$\frac{1}{3}$，由B不是三角形最大角，故cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴a=2$\sqrt{3}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
再由正弦定理可得sinA=$\frac{asinB}{b}$=$\frac{2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}}{3}$=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
故答案为：$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及同角三角函数基本关系和整体代入的思想，属中档题．