Question

2．已知x∈（0，$\frac{π}{2}$），求函数f（x）=$\frac{1+cos2x+8si{n}^{2}x}{sin2x}$的最小值．

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得f（x）=-3•$\frac{cos2x-\frac{5}{3}}{sin2x-0}$，式子$\frac{cos2x-\frac{5}{3}}{sin2x-0}$表示点（sin2x，cos2x）与点（0，$\frac{5}{3}$）连线的斜率，数形结合由直线和圆相切可得式子最大值，进而可得原式的最小值．

解答 解：由三角函数公式化简可得f（x）=$\frac{1+cos2x+8si{n}^{2}x}{sin2x}$
=$\frac{1+cos2x+8•\frac{1-cos2x}{2}}{sin2x}$=$\frac{5-3cos2x}{sin2x}$=-3•$\frac{cos2x-\frac{5}{3}}{sin2x-0}$，
式子$\frac{cos2x-\frac{5}{3}}{sin2x-0}$表示点（sin2x，cos2x）与点（0，$\frac{5}{3}$）连线的斜率，
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴2x∈（0，π），sin2x∈（0，1]，cos2x∈（-1，1），
∴点（sin2x，cos2x）在单位圆的右半圆（不含直径端点），
结合图象可知当过点（0，$\frac{5}{3}$）的直线与半圆相切时，$\frac{cos2x-\frac{5}{3}}{sin2x-0}$取最大值，
设直线方程为y-$\frac{5}{3}$=k（x-0）即3kx-3y+5=0，
由直线和圆相切可得$\frac{5}{\sqrt{9{k}^{2}+9}}$=1，解方程结合斜率为负数可得k=-$\frac{4}{3}$，
∴原式有最小值-3×（-$\frac{4}{3}$）=4

点评 本题考查三角函数的最值，变形并转化为直线斜率并解决直线和圆相切是解决问题的关键，属中档题．