Question

1．已知等差数列{a_n}的公差不为0，a₁=4，a₁、a₃、a₉成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设{b_n}=$\frac{2n}{3}$（a_n-1），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）a₁=4，a₁、a₃、a₉成等比数列，${a}_{3}^{2}={a}_{1}•{a}_{3}$，求出d，即可写出{a_n}的通项公式a_n=4n，（2）将a_n=4n代入b_n，求得b_n的通项公式，再分别求和．

解答 解：（1）等差数列{a_n}d≠0，a₁=4，a₁、a₃、a₉成等比数列，${a}_{3}^{2}={a}_{1}•{a}_{3}$，
即：（4+2d）²=4•（4+8d），解得d=4或d=0（舍去），
∴{a_n}的通项公式a_n=4n，
（2）b_n=$\frac{2n}{3}$（a_n-1）=$\frac{8{n}^{2}}{3}-\frac{2n}{3}$，
数列{b_n}的前n项和S_n，S_n=a₁+a₂+…+a_n，
∴S_n=$\frac{8}{3}（{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{3}+…+{n}^{2}）$-$\frac{2}{3}$（1+2+3+…+n），
=$\frac{8}{3}$•$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$-$\frac{2}{3}$$\frac{n（n+1）}{2}$，
=$\frac{1}{9}n（n+1）（8n+1）$，
∴S_n=$\frac{1}{9}n（n+1）（8n+1）$．

点评 本题考查求等差数列的通项公式及数列的前n项和，过程较简单，属于中档题．