Question

1．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C₁的极坐标方程为ρ=4sinθ，$θ∈[{\frac{π}{2}，π}]$
（1）求半圆C₁的参数方程；
（2）设动点A在半圆C₁上，动线段OA的中点M的轨迹为C₂，点D在C₂上，C₂在点D处的切线与直线$y=\sqrt{3}x+2$平行，求点D的直角坐标．

Answer 1

分析 （1）首先把圆的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步转化成参数方程，注意参数的取值范围．
（2）由中点坐标公式求得点M的坐标，易得曲线C₂的参数方程，结合切线与平行线的性质来求得点D的坐标即可．

解答 解：（1）半圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，$θ∈[{\frac{π}{2}，π}]$，
转化成直角坐标方程为：x²+y²-4y=0（0≤x≤2）
再把半圆C₁化为参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α为参数，-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$）；
（2）设M（x，y），由中点坐标公式，得：
x=$\frac{2cosα+0}{2}$=cosα，y=$\frac{2+2sinα+0}{2}$=1+sinα．
所以曲线C₂的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.$（α为参数，$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{3π}{2}$），
因为C₂在点D处的切线与直线$y=\sqrt{3}x+2$平行，则点D对应的参数α=$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$．
由曲线C₂的参数方程得，x_D=cos$\frac{5π}{6}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，y_D=1+sin$\frac{5π}{6}$=$\frac{3}{2}$．
故点D的直角坐标为（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、普通方程与参数方程的互化，考查考生的转化与化归能力．