Question

2．已知数列{a_n}中，a₁=m，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{16{n}^{2}{，a}_{n}＜16{n}^{2}}\\{2{a}_{n}，{a}_{n}≥16{n}^{2}}\end{array}\right.$ （n∈N^*），若{a_n}为等比数列，则实数m的取值范围是{m|m≥16或m=8}．

Answer 1

分析 由已知得当m＜16时，由等比数列的性质推导出a₁=m=8；当m≥16时，${a}_{n}=m×{2}^{n-1}$．由此能求出实数m的取值范围．

解答 解：∵a₁=m，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{16{n}^{2}{，a}_{n}＜16{n}^{2}}\\{2{a}_{n}，{a}_{n}≥16{n}^{2}}\end{array}\right.$ （n∈N^*），{a_n}为等比数列
∴当m＜16时，a₂=16，a₃=32，a₄=64，a_n=8×2^n-1，∴a₁=m=8；
当m≥16时，a₂=2m，a₃=4m，a₄=8m，${a}_{n}=m×{2}^{n-1}$．
综上，实数m的取值范围是{m|m≥16或m=8}．
故答案为：{m|m≥16或m=8}．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．