Question

14．已知函数f（x）=2sinxcosx+$\sqrt{3}$cos2x+3．求：
（1）f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的最大值及取最大值时x的取值集合．

Answer 1

分析 运用二倍角的正弦和余弦公式，及两角和的正弦公式，化简函数f（x），再利用正弦函数的周期性和最值得出结论．

解答 解：（1）f（x）=2sinxcosx+$\sqrt{3}$cos2x+3=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x+3，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+3，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，
（2）f（x）的最大值为5，
此时2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得：x=kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
x的取值集合{x丨x=kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，属于基础题．