Question

20．若x，y均为正实数，且x+4y-xy=0，求x+y的最小值及取得最小值时x，y的值．

Answer 1

分析 由已知式子可得$\frac{4}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，整体代入可得x+y=（x+y）（$\frac{4}{x}$+$\frac{1}{y}$）=5+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵x，y均为正实数，且x+4y-xy=0，
∴x+4y=xy，故$\frac{x+4y}{xy}$=1，即$\frac{4}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，
∴x+y=（x+y）（$\frac{4}{x}$+$\frac{1}{y}$）=5+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$
≥5+2$\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{x}{y}}$=9，
当且仅当$\frac{4y}{x}$=$\frac{x}{y}$即x=6且y=3时取等号，
故x+y的最小值为9，取得最小值时x，y的值分别为6和3．

点评 本题考查基本不等式求最值，整体变形代入并转化为可以基本不等式形式是解决问题的关键，属中档题．