Question

18．已知正实数x，y满足2x+y=2，则x+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{8}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． 2
• D． $\frac{2+2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 由题意可得P（x，y）表示线段AB上的点，x+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$表示P到y轴距离d与到O的距离PO之和，由对称性解出O（0，0）关于直线2x+y=2的对称点为O′的坐标，数形结合可得．

解答 解：∵正实数x，y满足2x+y=2，∴P（x，y）表示线段AB上的点，
设O（0，0）关于直线2x+y=2的对称点为O′（a，b），
则由对称性可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-0}{a-0}•（-2）=-1}\\{2•\frac{a+0}{2}+\frac{b+0}{2}=2}\end{array}\right.$，解得O′（$\frac{8}{5}$，$\frac{4}{5}$），
故x+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$表示P到y轴距离d与到O的距离PO之和．
由对称性可得PO′=PO，故原式=PO′+d，
结合图象可知当PO′与y轴垂直时上式取最小值$\frac{8}{5}$，
故选：A．

点评 本题考查式子的最值，由式子的几何意义转化为数形结合是解决问题的关键，属中档题．