Question

3．求下列函数的单调区间：
（1）y=3x²+6x+5；
（2）y=2x³-9x²+12x-3；
（3）y=2x+$\frac{8}{x}$（x＞0）；
（4）y=x-lnx²．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的单调性即可得出该函数的单调区间；
（2）求导数，根据导数符号即可判断出该函数的单调区间；
（3）根据基本不等式可以得出y≥8，并知道当x=2时取等号，即x=2时，y取最小值，从而便可得出该函数的单调区间；
（4）求导数，判断导数的符号，从而便可得出该函数的单调区间．

解答 解：（1）二次函数y=3x²+6x+5的对称轴为x=-1；
∴该函数的增区间为[-1，+∞），减区间为（-∞，-1）；
（2）y′=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）；
∴x＜1，或x＞2时，y′＞0，1＜x＜2时，y′＜0；
∴该函数的单调增区间为（-∞，1]，[2，+∞），单调减区间为（1，2）；
（3）∵x＞0；
∴$y=2x+\frac{8}{x}≥8$，当x=2时取“=”；
即x=2时，y取到最小值；
∴该函数的单调增区间为[2，+∞），单调减区间为（0，2）；
（4）$y′=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}$；
∴x＜0，或x＞2时，y′＞0，0＜x＜2时，y′＜0；
∴该函数的单调增区间为（-∞，0），[2，+∞），单调减区间为（0，2）．

点评 考查二次函数的单调性及单调区间的求法，根据导数符号求函数单调区间的方法，以及基本不等式在求函数最值时的应用，应用基本不等式时要求出等号成立的条件，根据函数图象判断函数单调性和求函数单调区间的方法，会解分式不等式，熟悉二次函数图象．