Question

8．f（x）=x²+2f′（2）x+3，则${∫}_{-3}^{0}$[$\sqrt{9-{x}^{2}}$+f（x）]dx=（　　）

• A． -54$+\frac{9π}{2}$
• B． -54+9π
• C． 54$+\frac{9π}{2}$
• D． 54+9π

Answer 1

分析 对原函数两边求导，再将x=2代入先求出f′（2）的值，再根据计算定积分的公式和定积分的几何意义即可求出．

解答 解：∵f（x）=x²+2f′（2）x+3，
∴f′（x）=2x+2f′（2），
当x=2时，有：f′（2）=4+2f′（2），
∴f′（2）=-4，
∴f（x）=x²-8x+3，
∵${∫}_{-3}^{0}$$\sqrt{9-{x}^{2}}$dx表示以原点为圆心以3为半径的圆的面积的四分之一，
∴${∫}_{-3}^{0}$$\sqrt{9-{x}^{2}}$dx=$\frac{9π}{4}$，
∵${∫}_{-3}^{0}$（x²-8x+3）dx=（$\frac{1}{3}$x³-4x²+3x）|${\;}_{-3}^{0}$=-（-9-36-9）=54，
∴${∫}_{-3}^{0}$[$\sqrt{9-{x}^{2}}$+f（x）]dx=54+$\frac{9π}{4}$，
故选：C．

点评 本小题主要考查定积分、定积分的应用、导函数的概念等基础知识，属于中档题．