Question

20．在△ABC中，已知AC=4，BC=5．
（I）若∠A=60°，求cosB的值；
（Ⅱ）若cos（A-B）=$\frac{7}{8}$，求cosC的值．

Answer 1

分析 （I）由题意可得A＞B，则由正弦定理求得sinB的值，可得cosB的值．
（Ⅱ）由题意可知a＞b，在BC上取D，使得BD=AD，连接AD，找出A-B，设BD=x，利用cos（A-B）=$\frac{7}{8}$，余弦定理，求出x，然后解三角形求出答案

解答 解：（I）∵△ABC中，已知AC=4，BC=5，∴A＞B，则由正弦定理可得$\frac{5}{sin60°}$=$\frac{4}{sinB}$，
求得sinB=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$，∴cosB=$\sqrt{{1-sin}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{13}}{5}$．
（Ⅱ）在BC上取D，使得BD=AD，连接AD，设BD=x，则AD=x，DC=5-x．
在△ADC中，注意cos∠DAC=cos（A-B）=$\frac{7}{8}$，
由余弦定理得：（5-x）²=x²+4²-2x•4•$\frac{7}{8}$，
即：25-10x=16-7x，解得：x=3．
∴在△ADC中，AD=3，AC=4，CD=2，∴cosC=$\frac{{CA}^{2}{+CD}^{2}{-AD}^{2}}{2CA•CD}$=$\frac{16+4-9}{2•4•2}$=$\frac{11}{16}$．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理，两角和与差的余弦，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．