Question

13．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB中点，F是DC上的点，且$DF=\frac{1}{2}AB，PH$为△PAD中AD边上的高．
（Ⅰ）证明：PH⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若PH=1，AD=2，FC=1，求三棱锥E-BCF的体积；
（Ⅲ）证明：EF⊥平面PAB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由线面垂直得AB⊥PH，由三角形的高的性质得PH⊥AD，由此能证明PH⊥平面ABCD．
（Ⅱ）三棱锥E-BCF的体积为${V_{E-BCF}}=\frac{1}{2}{V_{P-BCF}}$，由此能求出三棱锥E-BCF的体积
（Ⅲ）取AB的中点G，连接GE，GF，PF，则四边形ADFG为平行四边形，推导出EF⊥AB，EF⊥BP，由此能证明EF⊥平面PAB．

解答 证明：（Ⅰ）由AB⊥平面PAD，PH⊆平面PAD可得：AB⊥PH，
又PH为△PAD中边AD的高，即PH⊥AD，
而AB∩AD=A，AB，AD⊆平面ABCD，
故由线面垂直的判定定理可得：PH⊥平面ABCD．
解：（Ⅱ）由E为PB中点可得：三棱锥E-BCF的体积为${V_{E-BCF}}=\frac{1}{2}{V_{P-BCF}}$，
而又由（1）可得：${V_{P-BCF}}=\frac{1}{3}PH•{S_{△BCF}}=\frac{1}{3}PH•\frac{1}{2}AD•FC=\frac{1}{6}×1×2×1=\frac{1}{3}$，
故所求三棱锥E-BCF的体积为$\frac{1}{6}$．
证明：（Ⅲ）取AB的中点G，连接GE，GF，PF，
由题意知：$AG=\frac{1}{2}AB=DF$，
又AG∥DF，故四边形ADFG为平行四边形，
于是得AD∥FG，而EG为△ABP的中位线，故EG∥AP，
又AD∩AP=A，EG∩FG=G，
可得平面EFG∥平面ADP，而AB⊥平面ADP，
于是有AB⊥平面EFG，
又EF⊆平面EFG，因此，EF⊥AB，
在Rt△PDF中，$PF=\sqrt{P{D^2}+D{F^2}}$，在Rt△BFG中，$BF=\sqrt{F{G^2}+B{G^2}}$，
而PD=AD=FG，BG=AG=DF，故 BF=PF，
在等腰三角形BPF中，E为底边BP的中点，于是有EF⊥BP，
又AB∩BP=B，AB，BP⊆平面PAB，
故由线面垂直的判定定理可得：EF⊥平面PAB．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．