Question

18．在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；
（Ⅱ）求证：BD⊥AE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接FO，则OF为△BDE的中位线，从而DE∥OF，由此能证明DE∥平面ACF．
（Ⅱ）推导出BD⊥AC，EC⊥BD，从而BD⊥平面ACE，由此能证明BD⊥AE．

解答 证明：（Ⅰ）连接FO，∵底面ABCD是正方形，且O为对角线AC和BD交点
∴O为BD的中点，
又∵F为BE中点，
∴OF为△BDE的中位线，即DE∥OF，
又OF?平面ACF，DE?平面ACF，
∴DE∥平面ACF．
（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形，∴BD⊥AC，
∵EC⊥平面ABCD，∴EC⊥BD，
∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥AE．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．