Question

9．函数$f（x）=\frac{1}{{{2^x}+1}}+a$为奇函数，则实数a=$-\frac{1}{2}$；函数f（x）在[1，3]上的值域为$[-\frac{7}{18}，-\frac{1}{6}]$．

Answer 1

分析 由定义知实数的奇函数满足f（0）=0求得a值；把求得的a值代入函数解析式，由x的范围求出2^x+1的范围，然后求得函数值域．

解答 解：∵函数f（x）为奇函数，且函数$f（x）=\frac{1}{{{2^x}+1}}+a$的定义域为R，
∴f（0）=$\frac{1}{{2}^{0}+1}+a=\frac{1}{2}+a=0$，解得a=-$\frac{1}{2}$；
则$f（x）=\frac{1}{{2}^{x}+1}-\frac{1}{2}$，
当1≤x≤3时，3≤2^x+1≤9，
∴$\frac{1}{9}≤\frac{1}{{2}^{x}+1}≤\frac{1}{3}$，
则$-\frac{7}{18}≤\frac{1}{{2}^{x}+1}-\frac{1}{2}≤-\frac{1}{6}$，
∴函数f（x）在[1，3]上的值域为$[-\frac{7}{18}，-\frac{1}{6}]$．
故答案为：$-\frac{1}{2}$；$[-\frac{7}{18}，-\frac{1}{6}]$．

点评 本题考查函数奇偶性的性质，考查函数值域的求法，考查不等式的性质，是中档题．