Question

17．在（x-y）ⁿ展开式中，偶数项的系数之和为-256．
求（1）n；
（2）系数的最大和最小项．

Answer 1

分析 （1）由偶数项的系数之和为-256，可得2^n-1=2⁸，由此求得n值；
（2）写出二项展开式的通项，结合二项式系数的特点即可求得系数的最大和最小项．

解答 解：（1）由二项式（x-y）ⁿ的展开式中，偶数项的二项式系数之和为-256，得-2^n-1=-256，
即2^n-1=2⁸，∴n=9；
（2）（x-y）⁹展开式中，共有10项，
其中第5项与第6项的二项式系数相等且最大，
而${T}_{5}={C}_{9}^{4}{x}^{5}（-y）^{4}=126{x}^{5}{y}^{4}$，${T}_{6}={C}_{9}^{5}{x}^{4}（-y）^{5}=-126{x}^{4}{y}^{5}$，
∴展开式中系数最大的项是第5项为126，系数最小的项是第6项为-126．

点评 本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，注意区分二项式系数与项的系数，是基础题．