Question

3．设数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n+3=3ⁿ⁺¹，数列{b_n}满足b_n=$\frac{2}{（n+1）lo{g}_{3}{a}_{n}}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n+3=3ⁿ⁺¹，可得2a₁+3=3²，解得a₁．当n≥2时，利用递推关系即可得出a_n=3ⁿ．
（2）b_n=$\frac{2}{（n+1）lo{g}_{3}{a}_{n}}$=$\frac{2}{（n+1）n}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n+3=3ⁿ⁺¹，
∴2a₁+3=3²，解得a₁=3．
当n≥2时，2S_n-1+3=3ⁿ，∴2a_n=3ⁿ⁺¹-3ⁿ，
解得a_n=3ⁿ，当n=1时也成立．
∴a_n=3ⁿ．
（2）b_n=$\frac{2}{（n+1）lo{g}_{3}{a}_{n}}$=$\frac{2}{（n+1）n}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=2$[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”方法、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．