Question

13．已知数列{a_n}满足a₁=1，a${\;}_{n+1}^{2}$-${a}_{n}^{2}$=2（n∈N^*）．
（1）若数列{a_n}中的每一项均为正数，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{{a}_{n}^{2}}{{2}^{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意知a_n²为首项为1，公差为1的等差数列，由此可知a_n=$\sqrt{2n-1}$，
（2）写出数列{b_n}的通项公式，b_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}-\frac{1}{{2}^{n}}$，{b_n}是由等差数列与等比数列积的形式，采用乘公比，错位相减法，即可求得前n项和T_n．

解答 解：（1）a₁=1，a${\;}_{n+1}^{2}$-${a}_{n}^{2}$=2（n∈N^*），
∴{${a}_{n}^{2}$}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴${a}_{n}^{2}$=2n-1n∈N^*），
∴a_n=$\sqrt{2n-1}$，
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}^{2}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}-\frac{1}{{2}^{n}}$，
数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=b₁+b₂+b₃+…b₃，
∴T_n=（$1+\frac{2}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{4}{{2}^{3}}+…\frac{n}{{2}^{n-1}}$）-（$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$），
$\frac{1}{2}$T_n=（$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}$）-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$），
两式相减得：$\frac{1}{2}$T_n=（1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-$\frac{n}{{2}^{n}}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$），
整理得：T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查求数列的通项公式和采用乘以公比错位相减法求前n项和，属于中档题．