Question

18．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=2ⁿ-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=1，$\frac{{2}^{{b}_{n+1}}}{{2}^{{b}_{n}}}$=a_n+1，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}+n-1}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系即可得出；
（2）由$\frac{{2}^{{b}_{n+1}}}{{2}^{{b}_{n}}}$=a_n+1，可得：b_n+1-b_n=n．利用“累加求和”与“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=1，S_n=2ⁿ-1．
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1．当n=1时也成立．
∴a_n=2ⁿ．
（2）∵$\frac{{2}^{{b}_{n+1}}}{{2}^{{b}_{n}}}$=a_n+1，
∴${2}^{{b}_{n+1}-{b}_{n}}$=2ⁿ，
∴b_n+1-b_n=n．
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=（n-1）+（n-2）+…+1+1
=$\frac{n（n-1）}{2}$+1．
∴$\frac{1}{{b}_{n}+n-1}$=$\frac{1}{\frac{n（n-1）}{2}+1+n-1}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}+n-1}$}的前n项和T_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查了“累加求和”与“裂项求和”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．