Question

6．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a+b≥2c，则∠C的最大度数是（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 120°
• D． 150°

Answer 1

分析 先将已知不等式，两边平方，可得c²≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{4}$+$\frac{ab}{2}$，由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，从而可得cosC≥$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-（\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{4}+\frac{ab}{2}）}{2ab}$=$\frac{3（{a}^{2}+{b}^{2}）}{8ab}$-$\frac{ab}{4ab}$，利用基本不等式可得，cosC≥$\frac{1}{2}$，由余弦函数的图象和性质，结合范围C∈（0，180°）即可求得∠C的最大度数．

解答 解：在△ABC中，∵a+b≥2c，
∴两边平方，可得：c²≤$\frac{（a+b）^{2}}{4}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{4}$+$\frac{ab}{2}$，
∴由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$≥$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-（\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{4}+\frac{ab}{2}）}{2ab}$=$\frac{\frac{3（{a}^{2}+{b}^{2}）}{4}-\frac{ab}{2}}{2ab}$=$\frac{3（{a}^{2}+{b}^{2}）}{8ab}$-$\frac{ab}{4ab}$≥$\frac{3×2ab}{8ab}$-$\frac{1}{4}$（当且仅当a=b时等号成立）=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，180°），
∴0＜C≤60°，
故选：B．

点评 本题主要考查了余弦定理，基本不等式，余弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．