Question

7．一个圆内切于一个等腰锑形，已知圆面积是等腰锑形面积的$\frac{1}{2}$，求等腰梯形的底角（用反正切表示）

Answer 1

分析 如图，设圆的半径为r，设底角B=2α，由条件利用直角三角形中的边角关系，求得tanα的值，可得2α的值．

解答 解：∵一个圆内切于一个等腰锑形，设圆的半径为r，设底角B=2α，
则A=180°-2α，故∠OBF=α，∠OAE=90°-α，
∴BC=2BF=2r•cotα，AD=2AE=2r•cot（90°-α）．
∵已知圆面积是等腰锑形面积的$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}$（AD+BC）•2r=2•π•r²，
即[2r•cot（90°-α）+2r•cotα]•r=2•π•r²，
求得tanα+cotα=π，∴tanα=$\frac{π-\sqrt{{π}^{2}-4}}{2}$，∴α=arctan$\frac{π-\sqrt{{π}^{2}-4}}{2}$，
故等腰梯形的底角B=2α=2arctan$\frac{π-\sqrt{{π}^{2}-4}}{2}$．

点评 本题主要考查直角三角形中的边角关系，反三角函数的应用，属于中档题．