Question

4．判断下列命题真假，真命题个数有（　　）个
①命题“若x=1，则x²+x-2=0”的否命题为“若x=1，则x²+x-2≠0”；
②设命题p：?x₀∈（0，∞），log₂x₀＜log₃x₀，命题q：?x∈（0，$\frac{π}{2}$），tanx＞sinx，则p∧q为真命题；
③设a，b∈R，那么“ab+1＞a+b”是“a²+b²＜1”的必要不充分条件．

• A． 3个
• B． 2个
• C． 1个
• D． 0个

Answer 1

分析 ①根据否命题的定义进行判断，
②根据复合命题的定义进行判断，
③根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解答 解：①命题“若x=1，则x²+x-2=0”的否命题为“若x≠1，则x²+x-2≠0”；故①错误，
②设命题p：?x₀∈（0，∞），log₂x₀＜log₃x₀，正确，比如x₀=$\frac{1}{2}$时，不等式成立，
命题q：?x∈（0，$\frac{π}{2}$），tanx＞sinx等价为$\frac{sinx}{cosx}$＞sinx，即$\frac{1}{cosx}$＞1，
即0＜cosx＜1，则q为真命题．，则p∧q为真命题；故②正确，
③由ab+1＞a+b得ab+1-a-b＞0，
即（a-1）（b-1）＞0，则a＞1，b＞1或a＜1，b＜1，则a²+b²＜1不一定成立，
若a²+b²＜1，则-1＜a＜1且-1＜b＜1则（a-1）（b-1）＞0成立，即必要性成立，
综上可知：“ab+1＞a+b”是“a²+b²＜1”的必要不充分条件，故③正确，
故真命题的个数为2个，
故选：B．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的真假关系，复合命题的真假以及充分条件和必要条件的判断，综合性较强，但难度不大．