Question

19．已知数列{a_n}、{b_n}满足：a${\;}_{1}=\frac{1}{4}$，a_n+b_n=1，b${\;}_{n+1}=\frac{{b}_{n}}{1-{a}_{n}^{2}}$；
（1）求b₁、b₂、b₃、b₄；
（2）求证：数列{$\frac{1}{{b}_{n}-1}$}是等差数列，并求{b_n}的通项公式；
（3）设S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，若不等式4aS_n＜b_n对任意n∈N^*恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过已知条件代入计算即得结论；
（2）通过${b}_{n+1}=\frac{{b}_{n}}{1-{{a}_{n}}^{2}}$两边同时减1并取倒数，利用a_n+b_n=1化简可知数列{$\frac{1}{{b}_{n}-1}$}是等差数列，进而计算可得结论；
（3）通过（2）可知b_n=$\frac{n+2}{n+3}$，进而裂项可知a_na_n+1=$\frac{1}{n+3}$-$\frac{1}{n+4}$，并项相加可知S_n=$\frac{n}{4（n+4）}$，进而问题转化为求$\frac{（n+2）（n+4）}{n（n+3）}$的最小值，计算即得结论．

解答 （1）解：依题意，b₁=1-a₁=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
b₂=$\frac{{b}_{1}}{1-{{a}_{1}}^{2}}$=$\frac{\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{{4}^{2}}}$=$\frac{4}{5}$，a₂=1-b₂=1-$\frac{4}{5}$=$\frac{1}{5}$，
${b}_{3}=\frac{{b}_{2}}{1-{{a}_{2}}^{2}}$=$\frac{\frac{4}{5}}{1-\frac{1}{{5}^{2}}}$=$\frac{5}{6}$，a₃=1-b₃=1-$\frac{5}{6}$=$\frac{1}{6}$，
${b}_{4}=\frac{{b}_{3}}{1-{{a}_{3}}^{2}}$=$\frac{\frac{5}{6}}{1-\frac{1}{{6}^{2}}}$=$\frac{6}{7}$；
（2）证明：∵${b}_{n+1}=\frac{{b}_{n}}{1-{{a}_{n}}^{2}}$，a_n+b_n=1，
∴b_n+1-1=$\frac{{b}_{n}}{1-{{a}_{n}}^{2}}$-1=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n}+{a}_{n}-{{a}_{n}}^{2}}$-1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}-{a}_{n}}{{b}_{n}+{a}_{n}-{{a}_{n}}^{2}}$，
两边同时取倒数，得：$\frac{1}{{b}_{n+1}-1}$=$\frac{{b}_{n}+{a}_{n}-{{a}_{n}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}-{a}_{n}}$
=$\frac{{b}_{n}}{{{a}_{n}}^{2}-{a}_{n}}$-1
=$\frac{{1-a}_{n}}{{a}_{n}（{a}_{n}-1）}$-1
=$\frac{1}{-{a}_{n}}$-1
=$\frac{1}{{b}_{n}-1}$-1，
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}-1}$}是等差数列，
又∵$\frac{1}{{b}_{1}-1}$=$\frac{1}{\frac{3}{4}-1}$=-4，
∴$\frac{1}{{b}_{n}-1}$=-4-（n-1）=-（n+3），
∴数列{b_n}的通项公式b_n=1-$\frac{1}{n+3}$=$\frac{n+2}{n+3}$；
（3）解：由（2）可知b_n=$\frac{n+2}{n+3}$，
∴a_n=1-b_n=$\frac{1}{n+3}$，a_na_n+1=$\frac{1}{（n+3）（n+4）}$=$\frac{1}{n+3}$-$\frac{1}{n+4}$，
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1
=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{n+3}$-$\frac{1}{n+4}$
=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{n+4}$
=$\frac{n}{4（n+4）}$，
∵不等式4aS_n＜b_n对任意n∈N^*恒成立，
∴不等式4a•$\frac{n}{4（n+4）}$＜$\frac{n+2}{n+3}$对任意n∈N^*恒成立，
∴a＜$\frac{（n+2）（n+4）}{n（n+3）}$=1+$\frac{3n+8}{{n}^{2}+3n}$，
∵$\frac{3n+8}{{n}^{2}+3n}$随着n的增大而减小，且$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{3n+8}{{n}^{2}+3n}$=0，
∴a≤1．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查裂项相消法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．