Question

12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB-（2c-b）cosA=0．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=4，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后求出cosA的值，即可确定出角A的大小；
（Ⅱ）由a，cosA的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出三角形ABC面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，已知等式acosB-（2c-b）cosA=0，
利用正弦定理化简得：sinAcosB-（2sinC-sinB）cosA=0，
整理得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA，即sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A为三角形内角，
∴A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵a=4，A=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理得：16=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，即bc≤16，
当且仅当b=c时取等号，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤4$\sqrt{3}$，当且仅当b=c时取等号，
则△ABC面积的最小值为4$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．