Question

7．设T_n为等比数列{a_n}的前n项之积，且a₁=-6，${a_4}=-\frac{3}{4}$，则公比q=$\frac{1}{2}$，当T_n最大时，n的值为4．

Answer 1

分析 a₁=-6，${a_4}=-\frac{3}{4}$，可得：$-\frac{3}{4}$=-6q³，解得q=$\frac{1}{2}$．可得a_n．于是T_n=（-6）ⁿ$（\frac{1}{2}）^{\frac{n（n-1）}{2}}$．只考虑n为偶数时，$\frac{{T}_{2n+2}}{{T}_{2n}}$与1比较即可得出．

解答 解：∵a₁=-6，${a_4}=-\frac{3}{4}$，
∴$-\frac{3}{4}$=-6q³，
解得q=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$-6×（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
∴T_n=（-6）ⁿ×$（\frac{1}{2}）^{0+1+2+…+（n-1）}$
=（-6）ⁿ$（\frac{1}{2}）^{\frac{n（n-1）}{2}}$．
T_2n=36ⁿ$（\frac{1}{2}）^{n（2n-1）}$．
$\frac{{T}_{2n+2}}{{T}_{2n}}$=$\frac{3{6}^{n+1}（\frac{1}{2}）^{（n+1）（2n+1）}}{3{6}^{n}（\frac{1}{2}）^{n（2n-1）}}$=36•$（\frac{1}{2}）^{4n+1}$．
n=1时，$\frac{{T}_{4}}{{T}_{2}}$=$\frac{9}{8}$$\frac{36}{32}$＞1；n≥2时，$\frac{{T}_{2n+2}}{{T}_{2n}}$＜1．
∴T₂＜T₄＞T₆＞T₈＞…．
则公比q=$\frac{1}{2}$，当T_n最大时，n的值为4．
故答案分别为：$\frac{1}{2}$；4．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．