Question

7．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁、F₂，其一条渐近线方程为$y=\sqrt{2}x$，点P（$\sqrt{3}$，y₀）在双曲线上．则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=-1．

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程，可得b=2，求得c，将P的坐标代入双曲线的方程，可得y₀²=2，由向量的数量积的坐标表示计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{\sqrt{2}}$x，
由题意可得$\frac{b}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，解得b=2，
又c=$\sqrt{2+4}$=$\sqrt{6}$，
点P（$\sqrt{3}$，y₀）在双曲线上，可得$\frac{3}{2}$-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=1，
即有y₀²=2，
则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$，-y₀）•（$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$，-y₀）
=（-$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$）（$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$）+y₀²=3-6+2=-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，考查双曲线的渐近线方程的运用，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．