Question

15．如图，某流动海洋观测船开始位于灯塔B的北偏东θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）方向，且满足2sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-$\sqrt{3}$cos2θ=1，AB=AD，在接到上级命令后，该观测船从A点位置沿AD方向在D点补充物资后沿BD方向在C点投浮标，使得C点于A点的距离为4$\sqrt{3}$km，则该观测船行驶的最远航程为8km．

Answer 1

分析 利用条件2sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-$\sqrt{3}$cos²θ=1，0＜θ＜$\frac{π}{2}$，求出θ，得出AD+DC=BC，求该观测船行驶的最远航程，即求BC的最大值，当且仅当BC为△ABC的外接圆的直径时，取得最大值，由正弦定理可得结论．

解答 解：∵2sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-$\sqrt{3}$cos2θ=1，
∴2sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-1=$\sqrt{3}$cos2θ，
∴-cos（$\frac{π}{2}$+2θ）=$\sqrt{3}$cos2θ，
∴sin2θ-$\sqrt{3}$cos2θ=0
∴2sin（2θ-$\frac{π}{3}$）=0，
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{6}$，
∴∠ABC=$\frac{π}{3}$，
∵AB=AD，∴AB=AD=BD，
∴AD+DC=BC，
求该观测船行驶的最远航程，即求BC的最大值，当且仅当BC为△ABC的外接圆的直径时，取得最大值，
由正弦定理可得2R=$\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=8．
故答案为：8．

点评 本题考查三角函数公式的运用，考查正弦定理，解题时，求该观测船行驶的最远航程，转化为求BC的最大值，当且仅当BC为△ABC的外接圆的直径时，取得最大值是关键．