Question

9．已知抛物线x²=4y焦点为F，直线l与该抛物线相交于点A，B，且$\overrightarrow{OF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$$+\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$，则|$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 可设$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$，且使得四边形OCFD为平行四边形，这样可作出图形，从而有$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{OD}$，可设$A（{x}_{1}，\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}），B（{x}_{2}，\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}）$，从而可以求出点C的坐标，而F（0，1），从而可以求出$\overrightarrow{CF}$的坐标，且可求出$\overrightarrow{OD}$的坐标，这样即可建立关于x₁，x₂的方程组，解出x₁，x₂，从而可得出A，B点的坐标，进而可以求出$|\overrightarrow{AB}|$的值．

解答 解：如图，设$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$，且四边形OCFD为平行四边形；
∴$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{OD}$；
设$A（{x}_{1}，\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}），B（{x}_{2}，\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}）$，则$C（\frac{{x}_{1}}{3}，\frac{{{x}_{1}}^{2}}{12}）$，$\overrightarrow{OD}=（\frac{2{x}_{2}}{3}，\frac{{{x}_{2}}^{2}}{6}）$；
∵F（0，1）；
∴$\overrightarrow{CF}=（-\frac{{x}_{1}}{3}，1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{12}）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{x}_{1}}{3}=\frac{2{x}_{2}}{3}}\\{1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{12}=\frac{{{x}_{2}}^{2}}{6}}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2\sqrt{2}}\\{{x}_{2}=-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2\sqrt{2}}\\{{x}_{2}=\sqrt{2}}\end{array}\right.$；
∴A（$2\sqrt{2}，2$），B（$-\sqrt{2}，\frac{1}{2}$），或$A（-2\sqrt{2}，2），B（\sqrt{2}，\frac{1}{2}）$；
∴$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{（2\sqrt{2}+\sqrt{2}）^{2}+（2-\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{9}{2}$．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 考查向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，抛物线上点的坐标的设法，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数乘运算，向量相等的概念，根据向量的坐标求向量的长度．