Question

14．已知数列{a_n}的前项和为S_n，点（n，S_n）在函数f（x）=${∫}_{1}^{x}$（2t+1）dt的图象上，则数列{a_n}的通项公式为（　　）

• A． a_n=2n
• B． a_n=n²+n+2
• C． a_n=$\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{2n-1，n≥2}\end{array}\right.$
• D． a_n=$\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{2n，n≥2}\end{array}\right.$

Answer 1

分析 通过牛顿-莱布尼茨公式代入计算可知S_n=n²+n-2，当n≥2时利用a_n=S_n-S_n-1计算，进而可得结论．

解答 解：∵f（x）=${∫}_{1}^{x}$（2t+1）dt=（t²+t）${|}_{1}^{x}$=x²+x-2，
∴S_n=n²+n-2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=（n²+n-2）-[（n-1）²+（n-1）-2]
=2n，
又∵a₁=S₁=1+1-2=0不满足上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{0，}&{n=1}\\{2n，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
故选：D．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，涉及微积分基本定理、通项与前n项和之间的关系等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．