Question

4．若函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），且f′（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x，则下列说法正确的是（　　）

• A． y=f（x）的周期为$\frac{π}{2}$
• B． y=f（x）在[0，$\frac{π}{6}$]上是减函数
• C． y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称
• D． y=f（x）是偶函数

Answer 1

分析 根据函数的导数关系，求出函数f（x）的表达式，结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可．

解答 解：∵f′（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x，
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+c，（c是常数）
则f（x）=-cos（2x-$\frac{π}{3}$）+c，
则函数的周期T=$\frac{2π}{2}=π$，故A错误；
当0≤x≤$\frac{π}{6}$时，0≤2x≤$\frac{π}{3}$，-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤0，此时y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）为增函数，y=-cos（2x-$\frac{π}{3}$）+c为减函数，故B正确；
∵f（$\frac{π}{2}$）=-cos（2×$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$）+c=-cos$\frac{2π}{3}$+c不是最值，
∴y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{2}$不对称，故C错误；
∵f（0）=-cos（-$\frac{π}{3}$）+c不是最值，
∴函数f（x）关于x=0不对称，则函数f（x）不是偶函数，
故D错误．
故选：B．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及导数的运算以及三角函数的图象和性质，综合性较强，但难度不大．