Question

19．定义域为D的函数f（x）同时满足条件：①常数a，b满足a＜b，区间[a，b]⊆D，②使f（x）在[a，b]上的值域为[at，bt]（t∈N₊），那么我们把f（x）叫做[a，b]上的“t级矩形”函数，函数f（x）=x³是[a，b]上的“2级矩形”函数，则满足条件的常数对（a，b）共有（　　）

• A． 1对
• B． 2对
• C． 3对
• D． 4对

Answer 1

分析 函数f（x）=x³是[a，b]上的“2级矩阵”函数，即满足条件①常数a，b满足a＜b，区间[a，b]⊆D，②使f（x）在[a，b]上的值域为[at，bt]，利用函数f（x）=x³是[a，b]上的单调增函数，即可求得满足条件的常数对．

解答 解：由题意，函数f（x）=x³是[a，b]上的“2级矩阵”函数，
即满足条件①常数a，b满足a＜b，区间[a，b]⊆D，
②使f（x）在[a，b]上的值域为[at，bt]，
∵函数f（x）=x³是[a，b]上的单调增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{3}=2a}\\{{b}^{3}=2b}\end{array}\right.$，∴满足条件的常数对（a，b）为（-$\sqrt{2}$，0），（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），（0，$\sqrt{2}$），
故选：C．

点评 本题考查了新定义型函数的理解和运用能力，函数单调性的应用，转化化归的思想方法．