Question

12．已知某轮船速度为每小时10千米，燃料费为每小时30元，其余费用（不随速度变化）为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和为最小．

Answer 1

分析 可设轮船的速度为每小时x千米，燃料费为每小时t元，并且每千米航行费用总和为y元，根据条件可以得到$t=\frac{3}{100}{x}^{3}$，进一步得出$y=\frac{3}{100}{x}^{2}+\frac{480}{x}$，求导数便可得到$y′=\frac{\frac{3}{50}（{x}^{3}-8000）}{{x}^{2}}$，根据导数符号便可判断出：当$x=40\sqrt{5}$时，y取到最小值，即得出轮船航行速度为每小时$40\sqrt{5}$千米时，每千米航行费用总和为最小．

解答 解：设轮船的速度为每小时x千米，燃料费为每小时t元，每千米航行费用总和为y元，由轮船的燃料费用与其速度的立方成正比得：
t=kx³；
∴30=1000k；
∴$k=\frac{3}{100}$；
∴$t=\frac{3}{100}{x}^{3}$；
∴$y=\frac{3}{100}{x}^{2}+\frac{480}{x}$，$y′=\frac{3}{50}x-\frac{480}{{x}^{2}}=\frac{\frac{3}{50}（{x}^{3}-8000）}{{x}^{2}}$；
$x∈（0，40\sqrt{5}）$时，y′＜0，x$∈（40\sqrt{5}，+∞）$时，y′＞0；
∴$x=40\sqrt{5}$时，y取最小值；
即轮船航行的速度为每小时$40\sqrt{5}$千米时，每千米航行费用总和为最小．

点评 本题考查根据实际问题建立函数关系式的方法，正比例函数的一般形式，以及根据导数符号求函数的最值的方法和过程，清楚y=x³的单调性．