Question

2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b=2，△ABC的面积S=2$\sqrt{3}$，且2ccosA=2b-$\sqrt{3}$a，则a=4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意和余弦定理变形易得cosC，进而可得sinC，代入三角形的面积公式可得a的方程，解方程可得的．

解答 解：∵在△ABC中，2ccosA=2b-$\sqrt{3}$a，
∴2c•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=2b-$\sqrt{3}$a，
∴b²+c²-a²=2b²-$\sqrt{3}$ab，
∴b²+a²-c²=$\sqrt{3}$ab，
∴cosC=$\frac{{b}^{2}+{a}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴C=$\frac{π}{6}$，∴sinC=$\frac{1}{2}$；
又∵ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{4}$ab=2$\sqrt{3}$，
∴a=$\frac{8\sqrt{3}}{b}$=$\frac{8\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属中档题．