Question

13．若a、b是方程x+lgx=4、x+10^x=4的解，函数φ（x）=sin[（a+b）x+a]，则函数y=φ（x）的最小正周期是（　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． π
• C． $\frac{3π}{2}$
• D． 2π

Answer 1

分析 作出y=lgx，y=10^x，y=4-x的函数图象，根据函数图象的对称性得出a+b的值，带入周期公式计算最小正周期．

解答 解：由x+lgx=4、x+10^x=4得lgx=4-x，10^x=4-x，
作出y=lgx，y=10^x，y=4-x的函数图象，

显然a=x_B，b=x_A．
∵y=lgx与y=10^x互为反函数，y=x与y=4-x互相垂直，
∴x_A=y_B，
∵B在直线y=4-x上，
∴a+b=x_B+y_B=4，
∴函数φ（x）=sin[（a+b）x+a]的最小正周期是T=$\frac{2π}{a+b}=\frac{2π}{4}=\frac{π}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了互为反函数的函数图象的性质，三角函数的周期计算，属于中档题．