Question

3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3（b²+c²）=3a²+2bc．
（1）若a=2，b+c=2$\sqrt{2}$，求△ABC的面积S；
（2）若sinB=$\sqrt{2}$cosC，求cosC的大小．

Answer 1

分析 （1）根据条件式子，利用余弦定理求出cosA，sinA，将a=2，b+c=2$\sqrt{2}$代入条件式求出bc，代入面积公式S=$\frac{1}{2}bcsinA$求出面积；
（2）利用公式sinB=sin（A+C）得出sinC，cosC的关系，利用同角三角函数的关系解出cosC．

解答 解：（1）在△ABC中，∵3（b²+c²）=3a²+2bc，∴b²+c²-a²=$\frac{2bc}{3}$．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{3}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
又b²+c²-a²=（b+c）²-2bc-a²=$\frac{2bc}{3}$，
即8-2bc-4=$\frac{2bc}{3}$，∴bc=$\frac{3}{2}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）由（1）知sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cosA=$\frac{1}{3}$，
∴sinB=sin（A+C）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$cosC+$\frac{1}{3}$sinC=$\sqrt{2}$cosC，
∴$\frac{1}{3}sinC$=$\frac{\sqrt{2}}{3}cosC$，即sinC=$\sqrt{2}cosC$，
又sin²C+cos²C=1，
∴3cos²C=1，
∴cosC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了余弦定理，同角三角函数的关系，三角函数的恒等变换，属于中档题．