Question

5．在△ABC中，已知0＜A≤$\frac{π}{4}$，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=0，设$\overrightarrow{m}$=（cosA，cosB），$\overrightarrow{n}$=（sin2A，1+cos2B），$\overrightarrow{p}$=（cosC，sinC），现定义f（A）=|$\overrightarrow{n}$|-（$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}$）$•\overrightarrow{p}$．
（1）向量$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$是否一定共线？为什么？
（2）试分别求出函数f（A）的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=0得C=$\frac{π}{2}$，故cosA=sinB，cosB=sinA．计算cosA（1+cos2B）-cosBsin2A是否为0即可判断；
（2）化简f（A），利用二次函数的性质和A的范围求出f（A）的最值．

解答 解：（1）在△ABC中，∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=0，∴AC⊥BC，即C=$\frac{π}{2}$．
∴B=$\frac{π}{2}-A$．∴cosA=sinB，cosB=sinA．
∴cosA（1+cos2B）-cosBsin2A=sinB（1+cos2B）-sinAsin2A
=2sinBcos²B-2sin²AcosA=2cosAsin²A-2sin²AcosA=0．
∴向量$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$一定共线．
（2）${\overrightarrow{n}}^{2}$=sin²2A+（1+cos2B）²=sin²2A+（1-cos2A）²=2-2cos2A=4sin²A，
∴|$\overrightarrow{n}$|=2sinA．
（$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}$）$•\overrightarrow{p}$=（cosA+sin2A，cosB+1+cos2B）•（0，1）=cosB+1+cos2B=sinA+1-cos2A=2sin²A+sinA．
∴f（A）=2sinA-2sin²A-sinA=-2（sinA-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{1}{8}$．
∵0＜A≤$\frac{π}{4}$，∴0＜sinA≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴当sinA=$\frac{1}{4}$时，f（A）取得最大值$\frac{1}{8}$，
当sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f（A）取得最小值$\frac{\sqrt{2}-2}{2}$．

点评 本题考查了三角函数恒等变换，向量的数量级运算，属于中档题．