Question

1．已知F₁，F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，点P在双曲线上，设PF₁的中点在y轴上，且cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{4}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{15}}{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 由PF₁的中点在y轴上，可得P的横坐标为c，即有PF₂⊥x轴，令x=c，可得|PF₂|，再由双曲线的定义，可得|PF₁|，在直角三角形PF₁F₂中，运用余弦函数的定义，化简可得2a²=3b²，运用a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设F₁（-c，0），F₂（c，0），
由PF₁的中点在y轴上，可得P的横坐标为c，
即有PF₂⊥x轴，令x=c，可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
可得|PF₁|-|PF₂|=2a，即|PF₁|=|PF₂|+2a=$\frac{{b}^{2}}{a}$+2a，
在直角三角形PF₁F₂中，可得
cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{2}|}{|P{F}_{1}|}$=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{\frac{{b}^{2}}{a}+2a}$=$\frac{1}{4}$，
即为2a²+b²=4b²，即3b²=3c²-3a²=2a²，
即有c²=$\frac{5}{3}$a²，可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和双曲线的定义、以及余弦函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．