Question

6．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y≥0}\\{x≤0}\end{array}\right.$，若z=x+ay的最大值是2，则实数a=2．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，结合z=x+ay的最大值是2，讨论a的取值范围，然后根据条件即可求出a的值．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
若a=0，则x=z，此时满足条件最大值为0，不满足条件，
若a＞0，
由z=x+ay得y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，其斜率k=-$\frac{1}{a}$＜0．
平移直线y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，
由图象可知当直线y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$经过点A（0，1）时，此时目标函数取得最大值2，
由0+a=2，得a=2，
若a＜0，目标函数的斜率k=-$\frac{1}{a}$＞0．
平移直线y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，
由图象可知直线y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$经过原点O时，直线的截距最小，此时z最大z=0，此时不满足条件，
综上a=2，
答案为：2．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．注意要对a进行分类讨论．