Question

13．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的边长为a，则异面直线AC₁与BD的距离为（　　）

• A． $\sqrt{3}$a
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$a
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$a
• D． $\frac{\sqrt{6}}{6}$a

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC₁与BD的距离．

解答 解：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的边长为a
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A（a，0，0），C₁（0，a，a），B（a，a，0），D（0，0，0），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-a，a，a），$\overrightarrow{BD}$=（-a，-a，0），$\overrightarrow{DA}$=（a，0，0），
设$\overrightarrow{A{C}_{1}}$，$\overrightarrow{BD}$的公共法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{n}=-ax+ay+az=0}\\{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{n}=-ax-ay=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
∴异面直线AC₁与BD的距离为d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{a}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}a}{6}$．
故选：D．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．