Question

3．函数f（x）=$\frac{{x}^{2}-3x+4}{x}$，g（x）=mx+2，若对任意的x₁∈[1，3]，总存在x₂∈[1，3]，使得f（x₂）＜g（x₁），则实数m的取值范围是（-$\frac{1}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 命题“对任意的x₁∈[1，3]，总存在x₂∈[1，3]，使得g（x₁）＞f（x₂）”?g（x）_最小值＞f（x）_最小值，只要g（x）_最小值＞1即可．

解答 解：∵x∈[1，3]，
∴f（x）=x+$\frac{4}{x}$-3≥4-3=1，
当且仅当x=$\frac{4}{x}$，即x=2时取等号．∴f（x）_最小值=1，
命题“对任意的x₁∈[1，3]，总存在x₂∈[1，3]，使得g（x₁）＞f（x₂）”?g（x）_最小值＞f（x）_最小值
只要g（x）_最小值＞1即可．
当m＞0时，g（x）=mx+2是增函数，
对任意的x₁∈[1，3]，g（x）_min=g（1）=2+m．
由题设知2+m＞1，解得m＞-1，
∴m＞0
当m＜0时，g（x）=mx+2是减函数，
对任意的x₁∈[1，3]，g（x）_min=g（3）=3m+2．
由题设知3m+2＞1，解得m＞-$\frac{1}{3}$，
∴-$\frac{1}{3}$＜m＜0，
当m=0时，g（x）=2＞1，成立．
综上所述，m＞-$\frac{1}{3}$，
故答案为：（-$\frac{1}{3}$，+∞）．

点评 本题考查函数恒成立问题的应用，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．