Question

18．定义函数F（a，b）=$\frac{1}{2}$（a+b-|a-b|）（a，b∈R），设函数f（x）=-x²+2x+4，g（x）=x+2（x∈R），函数F（f（x），g（x））的最大值与零点之和为6．

Answer 1

分析 确定函数F（a，b）=$\frac{1}{2}$（a+b-|a-b|）的含义，表示出G（x）=F（f（x），g（x）），根据一次函数与二次函数的性质可求函数的最大值．

解答 解：∵F（a，b）=$\frac{1}{2}$（a+b-|a-b|）=$\left\{\begin{array}{l}{b，a≥b}\\{a，a＜b}\end{array}\right.$，
∴设G（x）=F（f（x），g（x））=$\left\{\begin{array}{l}{g（x），f（x）≥g（x）}\\{f（x），f（x）＜g（x）}\end{array}\right.$．
∵当-1≤x≤2时，f（x）≥g（x），此时G（x）=x+2∈[1，4]，此时函数无零点，此时最大值为4
当x＞2或x＜-1时，f（x）＜g（x），G（x）=-x²+2x+4=-（x-1）²+3＜4，
综上可得，函数G（x）的最大值为4，
由G（x）=-x²+2x+4=0，得方程的两根之和为2，
则函数F（f（x），g（x））的最大值与零点之和为2+4=6，
故答案为：6．

点评 本题主要考查分段函数的应用，以及函数的最值的求解，解题的关键是根据题目中的定义求出函数G（x）的解析式．利用数形结合是解决本题的关键．