Question

9．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点M，N是椭圆C上的两点，且四边形POMN是平行四边形，求点M，N的坐标．

Answer 1

分析 （1）由点P（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由题意设直线AB：y=$\frac{3}{2}x+m$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，得：3x²+3mx+m²-3=0，由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形性质，结合已知条件能求出M、N的坐标．

解答 解：（1）∵点P（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\\{2a=4}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）由题意设直线MN：y=$\frac{3}{2}x+m$，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，得：3x²+3mx+m²-3=0，
△＞0，${x}_{1}+{x}_{2}=-m，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{m}^{2}-3}{3}$，
∵四边形POMN是平行四边形，
∴|MN|=$\sqrt{\frac{13}{4}（{m}^{2}-\frac{4{m}^{2}-12}{3}）}$=$\sqrt{（1-0）^{2}+（\frac{3}{2}-0）^{2}}$，解得m=±3，
当m=3时，解方程：3x²+9x+6=0，得M（-1，$\frac{3}{2}$），N（-2，0）；
当m=-3时，解方程：3x²-9x+6=0，得M（1，$\frac{9}{2}$），N（2，6）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查利椭圆上的满足条件的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、平行四边形性质的合理运用．