Question

17．直线y=2x+m与椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有两个公共点，则实数m的取值范围是（-2$\sqrt{10}$，2$\sqrt{10}$）．

Answer 1

分析 直线与椭圆联立，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，由直线与椭圆有一两个交点，利用根的判别式能求出m的取值范围．

解答 解：联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y，
得：40x²+36mx+9m²-36=0，
∵直线y=2x+m与椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有两个公共点，
∴△=（36m）²-4×40×（9m²-36）＞0，
解得-2$\sqrt{10}＜m＜2\sqrt{10}$．
∴实数m的取值范围是（-2$\sqrt{10}$，2$\sqrt{10}$）．
故答案为：（-2$\sqrt{10}$，2$\sqrt{10}$）．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．